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By Hans-H. Ostmann

Bereits seit längerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs­ objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknüpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche challenge. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoß zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "über additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge­ nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nämlich zunächst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natürlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge­ ordnet, die in gewissem Sinn ein Maß dafür ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen der gegebenen Menge angehört. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt additionally ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingeführt wurde, zeigte sich, daß bereits in großer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluß an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl­ mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien für den vorliegen­ den Bericht ziemlich zwangsläufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.

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B. sind U = {O. 1, 3, 5, ... , 2 n + 1, .. '}' U1 = {O, 1, 2, 5, 7, ... } verschiedene Basen zweiter Ordnung; {O, 1} ist eine Basis unendlicher Ordnung. Defini tion 2. >8 heißt asymptotische Basis h-ter Ordnung (0:::;: h:::;: 00) von im, wenn für ein hinreichend großes m IDl (\ [m, 00] ~ h >8, jedoch für kein m' im (\ [m', 00] ~ 1 >8, 0 I Falls IDl leer ist, also gar keine erfüllt. mp,i < 1 < h, existieren, ist (2) trivialerweise 25 3. Basismengen. ist. Für im = 3 (bzw. " 3, 1 58 - 3 (l < h). Jede Basis von mist trivialerweise auch asymptotische Basis von m.

Wo eine verwandte Fragestellung behandelt wird). I x'" = P n (x) zu ersetzen, so daß nunmehr für f der EinmEID! m;:;>n heitskreis gewählt werden kann: J P~(C)dC= J'·Pn (e2nis)e-2ninsds 1 1 . Ci=l rn + 1 ~ 1 (x=e 2ni ,). 0 Die Durchführung erfordert in der Regel Abschätzungen WEYLscher Summen (s. VINOGRADOV [7]). - Die übertragung der eben beschrie3'" 36 7. Anzahlfunktion, Kompositionen, Partitionen. benen Methoden auf den Fall, daß die zu addierenden Mengen nicht sämtlich einander gleich sind, ist evident.

26 4. Zusammenhang mit DIOPHANTischen Gleichungen. so hat man eine Lösung von (1). Die asymptotische Basiseigenschaft von 581 = l 58 erhält man wegen 0 E 58 offensichtlich durch den Nachweis, daß xo x + (xo + 1) Y = z (2) für alle hinreichend großen z nichtnegative ganze Lösungen x, y besitzt. Mit x y = u ist an Stelle von (2) + z= Xo x + (xo + 1) Y = Xo u + y, u~ y~0 in ganzen u, y zu lösen. Für alle z > x; liefert aber der gewöhnliche Divisionsalgorithmus bez. (z, xo) alles Verlangte, da dann u > X o und xo > y ist.

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